Bài tập 16, § 2

Một số thứ tự $\rho > 0$ được gọi là không phân tích được nếu không tồn tại cặp số thứ tự $\xi$, $\eta$ nào sao cho $\xi < \rho$, $\eta < \rho$, và $\xi + \eta = \rho$.

(a) Một số thứ tự $\rho$ là không phân tích được nếu và chỉ nếu $\xi + \rho = \rho$ với mọi số thứ tự $\xi$ sao cho $\xi < \rho$.

(b) Nếu $\rho > 1$ là một số thứ tự không phân tích được và nếu $\alpha$ là một số thứ tự bất kỳ $> 0$, thì $\alpha\rho$ là không phân tích được, và ngược lại (dùng Bài tập 15 (f)).

(c) Nếu $\rho$ là một số thứ tự không phân tích được và nếu $0 < \alpha < \rho$, thì $\rho = \alpha\xi$, trong đó $\xi$ là một số thứ tự không phân tích được (dùng Bài tập 15 (f)).

(d) Cho $\alpha$ là một số thứ tự $> 0$. Chứng minh rằng tồn tại một số thứ tự không phân tích được lớn nhất trong số các số thứ tự không phân tích được $\leqslant \alpha$ (xét các phân tích $\alpha = \rho + \xi$, trong đó $\rho$ là một số thứ tự không phân tích được).

(e) Nếu E là một tập hợp bất kỳ các số thứ tự không phân tích được, suy ra từ (d) rằng cận trên bé nhất của E (Bài tập 14 (d)) là một số thứ tự không phân tích được.