Exercice 23, § 4

Soit $f$ une fonction numérique continue dans un intervalle compact $I \subset \mathbf{R}$; parmi les fonctions $g \leqslant f$ qui sont convexes dans $I$, il en existe une plus grande que toutes les autres $g_0$. Soit $F \subset I$ l’ensemble des $x \in I$ tels que $g_0(x) = f(x)$; montrer que $F$ n’est pas vide, et que dans chacun des intervalles ouverts contigus à $F$, $g_0$ est égale à une fonction linéaire affine (raisonner par l’absurde).