Bài tập 23, § 4

Cho $f$ là một hàm số thực liên tục trên một khoảng compact $I \subset \mathbf{R}$; trong số các hàm $g \leqslant f$ lồi trên $I$, tồn tại một hàm lớn hơn tất cả các hàm khác là $g_0$. Cho $F \subset I$ là tập hợp các $x \in I$ sao cho $g_0(x) = f(x)$; bây giờ chứng minh rằng $F$ không rỗng, và trong mỗi khoảng mở kề với $F$, $g_0$ bằng một hàm tuyến tính affine (chứng minh bằng phản chứng).