Exercice 6, § 6

Soit $G$ un groupe nilpotent sans torsion de type fini. Montrer que, si $n$ est assez grand, on peut plonger $G$ dans le groupe trigonal strict inférieur d’ordre $n$ sur $\mathbf{Z}$. (Soit $(i, \bar{G})$ une $\mathbf{P}$-enveloppe de $G$, cf. § 5, exerc. 6 ; munie de sa structure d’algèbre de Lie canonique (exerc. 4), $\bar{G}$ est une $\mathbf{Q}$-algèbre de Lie nilpotente de dimension finie. Appliquer à $\bar{G}$ le théorème d’Ado (chap. I, § 7) et en déduire un plongement de $\bar{G}$ dans un groupe trigonal strict sur $\mathbf{Q}$. Passer de $\mathbf{Q}$ à $\mathbf{Z}$ en conjuguant par une matrice diagonale entière convenable.)