Exercice 1, § 2

Soient G un groupe de Lie compact connexe, g un élément de G. a) Montrer qu’il existe un entier n \geq 1 tel que le centralisateur Z(g^n) soit connexe (prouver que pour n convenable, le sous-groupe fermé engendré par g^n est un tore). b) On suppose que la dimension de Ker(Ad g^n − 1) est indépendante de n (n \geq 1). Démontrer que Z(g) est connexe. c) Si g^n est régulier pour tout n \geq 1, Z(g) est connexe.