Exercice 21, § 4

a) Soit $H$ un sous-groupe fermé connexe de rang 1 de $G$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $H$ est principal ; (ii) $H$ est net et contient un élément régulier de $G$; (iii) il existe un sl$_2$-triplet principal $(x, h, y)$ de $g_c$ (VIII, § 11, n° 4) tel que

b) Montrer que $G$ contient un sous-groupe principal de rang 1, et que deux tels sous-groupes sont conjugués (avec les notations de l’exerc. 17, remarquer qu’on a $S = \Delta$). c) Montrer qu’un sous-groupe fermé connexe de $G$ est principal si et seulement s’il contient un sous-groupe de rang 1 principal dans $G$ (utiliser l’exerc. 18, a)).