Exercice 21, § 10

a) Soit X un espace accessible et localement quasi-compact (I, p. 111, exerc. 30). Soit $X_0$ l’espace discret ayant même ensemble sous-jacent que X, et soit $\tilde{X}_0$ l’espace (compact) des ultrafiltres sur $X_0$ (l’espace discret $X_0$ étant identifié à un sous-espace ouvert de $\tilde{X}_0$) (I, p. 110, exerc. 27). Dans $\tilde{X}_0$, soit R (ou $R(X)$) la relation d’équivalence entre ultrafiltres $\mathfrak{U}, \mathfrak{V}$: « les ensembles de points limites de $\mathfrak{U}$ et de $\mathfrak{V}$ dans X sont les mêmes ». Montrer que la relation R est séparée (utiliser la description de la topologie de $\tilde{X}_0$ donnée dans I, p. 110, exerc. 26 b), l’exerc. 7 b) de I, p. 100 et l’axiome (C’)); l’espace compact $X^c = \tilde{X}_0 / R$ est en correspondance biunivoque avec l’ensemble des ensembles primitifs de X (I, p. 100, exerc.7). Si X est séparé (et par suite localement compact), $X^c$ s’identifie à X lorsque X est compact, au compactifié d’Alexandroff de X lorsque X n’est pas compact.

b) Soit Y un sous-espace fermé de X. L’espace des ultrafiltres $\tilde{Y}_0$ sur $Y_0$ s’identifie à l’adhérence de $Y_0$ dans $\tilde{X}_0$, et l’espace $Y^c$ à l’image canonique de $\tilde{Y}_0$ dans $X^c$.

c) Montrer que la restriction à $X_0$ de l’application canonique $\tilde{X}_0 \to X^c$ est une bijection de $X_0$ sur un sous-espace $X^c_*$ de $X^c$, que l’application canonique $f : X^c_* \to X$ est une bijection continue et que l’image par cette application de toute partie compacte de $X^c_*$ est une partie compacte fermée de X. (Pour voir que $f$ est continue, utiliser b); observer d’autre part que l’image réciproque dans $\tilde{X}_0$ d’un point de $X^c_*$ est composée d’ultrafiltres sur X ayant tous un seul point limite, et que si $\mathfrak{U}$ est un ultrafiltre sur X, son point limite dans $\tilde{X}_0$, quand $\mathfrak{U}$ est considéré comme base d’ultrafiltre sur $\tilde{X}_0$, est $\mathfrak{U}$ considéré comme point de $\tilde{X}_0$.)

d) Soit Z l’ensemble somme d’une famille dénombrable d’espaces $Y_n$ identiques à l’espace XS défini dans l’exerc. 7 de I, p.101 , et d’un ensemble $\{ \omega \}$ réduit à un point. On définit une topologie sur Z en prenant pour système fondamental de voisinages d’un point $z \in Y_n$ le filtre de ses voisinages dans l’espace $Y_n$, et pour système fondamental de voisinages de $\omega$ l’ensemble des $V_n$, où $V_n$ est réunion de $\{ \omega \}$ et des $Y_m$ d’indice $\geq n$. L’espace Z ainsi défini est accessible, quasi-compact et localement quasi-compact; mais le sous-espace $Z^c_*$ de $Z^c$ n’est pas localement compact.

e) Soit Y un second espace accessible et localement quasi-compact, et soit u une application continue de X dans Y, telle que l’image réciproque par u de toute partie quasi-compacte de Y soit quasi-compacte. Si l’on considère u comme une application de $X^c_*$ dans $Y^c_*$, montrer que u est continue et se prolonge (de façon unique) en une application continue $X^c \to Y^c$. (Prolonger d’abord u en une application continue de $\tilde{X}_0$ dans $\tilde{Y}_0$ et montrer qu’elle est compatible avec les relations d’équivalence $R(X)$ et $R(Y)$).

f) Soit X l’espace accessible quasi-compact et non localement quasi-compact défini dans l’exerc. 30 c) de I, p. 111. Montrer que dans l’espace $\tilde{X}_0$ correspondant, la relation d’équivalence $R(X)$ n’est pas séparée.