Bài tập 21, § 10

a) Cho X là một không gian khả tiếp cận và nửa compact địa phương (I, p. 111, bài tập 30). Gọi $X_0$ là không gian rời rạc có cùng tập nền với X, và gọi $\tilde{X}_0$ là không gian (compact) các siêu lọc trên $X_0$ (không gian rời rạc $X_0$ được đồng nhất với một không gian con mở của $\tilde{X}_0$) (I, p. 110, bài tập 27). Trong $\tilde{X}_0$, gọi R (hay $R(X)$) là quan hệ tương đương giữa các siêu lọc $\mathfrak{U}, \mathscr{V}$: “các tập hợp các điểm giới hạn của $\mathfrak{U}$ và của $\mathscr{V}$ trong X là như nhau”. Bây giờ chứng minh rằng quan hệ R là tách (sử dụng mô tả của tôpô của $\tilde{X}_0$ cho trong I, p. 110, bài tập 26 b), bài tập 7 b) của I, p. 100 và tiên đề (C’)); không gian compact $X^c = \tilde{X}_0 / R$ có sự tương ứng một-một với tập hợp các tập nguyên thủy của X (I, p. 100, bài tập 7). Nếu X là tách (và do đó compact địa phương), $X^c$ đồng nhất với X khi X là compact, với compact hóa Alexandroff của X khi X không compact.

b) Cho Y là một không gian con đóng của X. Không gian các siêu lọc $\tilde{Y}_0$ trên $Y_0$ đồng nhất với bao đóng của $Y_0$ trong $\tilde{X}_0$, và không gian $Y^c$ với ảnh chính tắc của $\tilde{Y}_0$ trong $X^c$.

c) Bây giờ chứng minh rằng hạn chế vào $X_0$ của ánh xạ chính tắc $\tilde{X}_0 \to X^c$ là một song ánh của $X_0$ lên một không gian con $X^c_*$ của $X^c$, rằng ánh xạ chính tắc $f : X^c_* \to X$ là một song ánh liên tục và rằng ảnh qua ánh xạ này của mọi tập con compact của $X^c_*$ là một tập con compact đóng của X. (Để thấy rằng $f$ liên tục, sử dụng b); ngoài ra nhận xét rằng ảnh ngược trong $\tilde{X}_0$ của một điểm của $X^c_*$ gồm các siêu lọc trên X có cùng một điểm giới hạn duy nhất, và rằng nếu $\mathfrak{U}$ là một siêu lọc trên X, điểm giới hạn của nó trong $\tilde{X}_0$, khi $\mathfrak{U}$ được xem như một cơ sở của siêu lọc trên $\tilde{X}_0$, là $\mathfrak{U}$ được xem như một điểm của $\tilde{X}_0$.)

d) Cho Z là tập hợp tổng của một họ đếm được các không gian $Y_n$ đồng nhất với không gian XS được xác định trong bài tập 7 của I, p.101 , và của một tập hợp $\{ \omega \}$ rút gọn về một điểm. Một tôpô được xác định trên Z bằng cách lấy làm hệ cơ sở các lân cận của một điểm $z \in Y_n$ lọc các lân cận của nó trong không gian $Y_n$, và lấy làm hệ cơ sở các lân cận của $\omega$ tập hợp các $V_n$, trong đó $V_n$ là hợp của $\{ \omega \}$ và các $Y_m$ có chỉ số $\geq n$. Không gian Z được xác định như vậy là khả tiếp cận, nửa compact và nửa compact địa phương; nhưng không gian con $Z^c_*$ của $Z^c$ không compact địa phương.

e) Cho Y là một không gian khả tiếp cận và nửa compact địa phương thứ hai, và cho u là một ánh xạ liên tục từ X vào Y, sao cho ảnh ngược bởi u của mọi tập con nửa compact của Y là nửa compact. Nếu xem u như một ánh xạ từ $X^c_*$ vào $Y^c_*$, bây giờ chứng minh rằng u liên tục và mở rộng (theo một cách duy nhất) thành một ánh xạ liên tục $X^c \to Y^c$. (Trước hết mở rộng u thành một ánh xạ liên tục từ $\tilde{X}_0$ vào $\tilde{Y}_0$ và chứng minh rằng nó tương thích với các quan hệ tương đương $R(X)$ và $R(Y)$).

f) Cho X là không gian khả tiếp cận nửa compact và không nửa compact địa phương được xác định trong bài tập 30 c) của I, p. 111. Bây giờ chứng minh rằng trong không gian tương ứng $\tilde{X}_0$, quan hệ tương đương $R(X)$ không tách.