Exercice 26, § 8

Soit $(\theta_n)$ une suite de nombres irrationnels partout dense dans l’intervalle I = (0, 1) de $\mathbf{R}$. Soit $I_n$ l’espace quotient de I obtenu en identifiant entre eux tous les points 0, $\theta_1, \ldots, \theta_n$, et soit $\varphi_n$ l’application canonique $I \to I_n$. Soit X l’ensemble des nombres rationnels contenus dans I; la restriction de $\varphi_n$ à X est une bijection de X sur $\varphi_n(X)$; soit $\mathscr{T}_n$ l’image réciproque par cette bijection de la topologie induite sur $\varphi_n(X)$ par la topologie de $I_n$. Montrer que la borne inférieure de la suite décroissante $(\mathscr{T}_n)$ de topologies séparées sur X n’est pas séparée.*