Bài tập 26, § 8

Cho $(\theta_n)$ là một dãy các số vô tỉ trù mật khắp nơi trong khoảng I = (0, 1) của $\mathbf{R}$. Cho $I_n$ là không gian thương của I thu được bằng cách đồng nhất với nhau tất cả các điểm 0, $\theta_1, \ldots, \theta_n$, và cho $\varphi_n$ là ánh xạ chính tắc $I \to I_n$. Cho X là tập hợp các số hữu tỉ được chứa trong I; hạn chế của $\varphi_n$ trên X là một song ánh từ X lên $\varphi_n(X)$; cho $\mathfrak{T}_n$ là ảnh ngược bởi song ánh này của tôpô cảm sinh trên $\varphi_n(X)$ bởi tôpô của $I_n$. Bây giờ chứng minh rằng cận dưới lớn nhất của dãy giảm $(\mathfrak{T}_n)$ các tôpô Hausdorff trên X không là Hausdorff.*