Exercice 8, § 8

Montrer qu’il ne peut exister d’application non constante $\psi$ d’un intervalle $I \subset \mathbf{R}$ dans l’ensemble $\mathbf{N}^\mathbf{N}$ des suites d’entiers naturels, qui, pour tout $x \in I$, ait la propriété suivante: pour tout entier $n$, il existe un voisinage $V$ de $x$ dans $I$ tel que, pour tout $y \in V$, les $n$ premiers termes de la suite $\psi(y)$ soient identiques aux $n$ premiers termes de la suite $\psi(x)$ (remarquer que cela entraînerait la continuité de $\psi$, lorsqu’on munit chacun des facteurs $\mathbf{N}$ de la topologie discrète, et $\mathbf{N}^\mathbf{N}$ du produit de ces topologies).