Exercice 12, § 3

Soit $K$ un corps topologique séparé et non discret. Soient $R$ l’ensemble des $x \in K$ tels que $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$, $N$ le complémentaire de l’ensemble $R \cup R^{-1}$. Montrer que, pour qu’il existe sur $K$ une valeur absolue définissant la topologie de $K$, il faut et il suffit que: 1° $R$ soit ouvert dans $K$; 2° pour tout voisinage $V$ de 0 dans $K$, il existe un voisinage $U$ de 0 dans $K$ tel que $R \cdot U \subset V$; 3° si $x \in R$ et $y \in R \cup N$, alors $yx \in R$.

Pour établir que ces conditions sont suffisantes, on montrera successivement que:

a) $N$ est un sous-groupe distingué du groupe multiplicatif $K^*$ des éléments $\neq 0$ de $K$.

b) Dans le groupe quotient $K^*/N$, on pose $\dot{x} \leq \dot{y}$ s’il existe $x \in \dot{x}$ et $y \in \dot{y}$ tels que $yx^{-1} \in R \cup N$; montrer que cette relation est une relation d’ordre compatible avec la structure de groupe de $K^*/N$, et que le groupe ordonné $K^*/N$ ainsi défini est isomorphe à un sous-groupe du groupe additif $\mathbf{R}$ (utiliser $V$, p. 16, exerc. 1 du § 3).

c) Conclure en utilisant l’exerc. 11.

En particulier, la topologie d’un corps commutatif localement compact non discret peut être définie par une valeur absolue (cf. INT, VII, § 2, exerc. 4 et AC, VI, § 9).