Bài tập 12, § 3

Cho $K$ là một trường tôpô tách được và rời rạc. Cho $R$ là tập hợp các $x \in K$ sao cho $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$, và $N$ là phần bù của tập hợp $R \cup R^{-1}$. Bây giờ chứng minh rằng, để tồn tại trên $K$ một giá trị tuyệt đối xác định tôpô của $K$, điều kiện cần và đủ là: 1° $R$ mở trong $K$; 2° với mọi lân cận $V$ của 0 trong $K$, tồn tại một lân cận $U$ của 0 trong $K$ sao cho $R \cdot U \subset V$; 3° nếu $x \in R$ và $y \in R \cup N$, thì $yx \in R$.

Để chứng minh rằng các điều kiện này là đủ, ta sẽ lần lượt chỉ ra rằng:

(a) $N$ là một nhóm con chuẩn của nhóm nhân $K^*$ của các phần tử $\neq 0$ của $K$.

(b) Trong nhóm thương $K^*/N$, đặt $\dot{x} \leq \dot{y}$ nếu tồn tại $x \in \dot{x}$ và $y \in \dot{y}$ sao cho $yx^{-1} \in R \cup N$; chứng minh rằng quan hệ này là một quan hệ có thứ tự tương thích với cấu trúc nhóm của $K^*/N$, và rằng nhóm có thứ tự $K^*/N$ được định nghĩa như vậy là đẳng cấu với một nhóm con của nhóm cộng $\mathbf{R}$ (sử dụng $V$, p. 16, bài tập 1 của § 3).

(c) Kết luận bằng cách sử dụng bài tập 11.

Đặc biệt, tôpô của một trường giao hoán địa phương compact không rời rạc có thể được xác định bởi một giá trị tuyệt đối (cf. INT, VII, § 2, bài tập 4 và AC, VI, § 9).