Exercice 10, § 4

Montrer que, dans un espace normal X, tout sous-espace Y réunion dénombrable d’ensembles fermés, est normal. (Soient A, B deux parties fermées de Y, sans point commun, et supposons Y réunion d’une suite croissante $(F_n)$ de parties fermées de X. Définir par récurrence deux suites $(U_n), (V_n)$ de parties ouvertes de X, telles que: $1^\circ \overline{U_n} \cap F_n$ et $\overline{V_n} \cap F_n$ soient disjoints; $2^\circ U_n \cap F_n$ contienne $A \cap F_n$ et tous les ensembles $\overline{U_i} \cap \overline{F_i}$ pour $1 \leq i \leq n$, et $V_n \cap F_n$ contienne $B \cap F_n$ et tous les ensembles $\overline{V_i} \cap \overline{F_i}$ pour $1 \leq i < n$.