Exercice 25, § 4

a) Soit X un espace régulier tel que, pour tout recouvrement ouvert $\mathscr{R}$ de X, il existe un recouvrement localement fini $\mathscr{A}$ (non nécessairement ouvert) de X qui soit plus fin que $\mathscr{R}$. Alors, pour tout recouvrement ouvert $\mathscr{R}$ de X, il existe un recouvrement fermé localement fini $\mathscr{F}$ de X qui soit plus fin que $\mathscr{R}$. (Pour tout $x \in X$, soit $V_x$ un voisinage ouvert de $x$ tel que $\overline{V}_x$ soit contenu dans un ensemble de $\mathscr{R}$. Considérer un recouvrement localement fini $\mathscr{B}$ plus fin que le recouvrement formé par les $V_x$, puis le recouvrement $\mathscr{F}$ formé des adhérences des ensembles de $\mathscr{B}$.) b) Soit X un espace séparé tel que, pour tout recouvrement ouvert $\mathscr{R}$ de X, il existe un recouvrement fermé localement fini $\mathscr{F}$, plus fin que $\mathscr{R}$. Montrer que X est paracompact. (Soit $\mathscr{R}$ un recouvrement ouvert de X, $\mathscr{A}$ un recouvrement localement fini de X, plus fin que $\mathscr{R}$; pour tout $x$, soit $W_x$ un voisinage ouvert de $x$ ne rencontrant qu’un nombre fini d’ensembles de $\mathscr{A}$. Soit $\mathscr{F}$ un recouvrement fermé localement fini plus fin que le recouvrement formé par les $W_x$. Pour tout $A \in \mathscr{A}$, soit $U_A$ un ensemble de $\mathscr{R}$ contenant A, et soit $C_A$ la réunion des ensembles $F \in \mathscr{F}$ tels que $A \cap F = \varnothing$. Montrer que lorsque A parcourt $\mathscr{A}$, les ensembles $U_A \cap (X - C_A)$ forment un recouvrement ouvert localement fini plus fin que $\mathscr{R}$.) c) Déduire de a) et b) que si X est un espace régulier tel que, pour tout recouvrement ouvert $\mathscr{R}$ de X, il existe un recouvrement localement fini (non nécessairement ouvert) plus fin que $\mathscr{R}$, X est paracompact.