Bài tập 25, § 4

(a) Cho X là một không gian chính quy sao cho, với mọi phủ mở $\mathscr{R}$ của X, tồn tại một phủ hữu hạn địa phương $\mathscr{A}$ (không nhất thiết mở) của X mịn hơn $\mathscr{R}$. Khi đó, với mọi phủ mở $\mathscr{R}$ của X, tồn tại một phủ đóng hữu hạn địa phương $\mathscr{F}$ của X mịn hơn $\mathscr{R}$. (Với mọi $x \in X$, lấy $V_x$ là một lân cận mở của $x$ sao cho $\overline{V}_x$ được chứa trong một tập hợp của $\mathscr{R}$. Xét một phủ hữu hạn địa phương $\mathscr{B}$ mịn hơn phủ được tạo bởi các $V_x$, khi đó phủ $\mathscr{F}$ được tạo bởi các bao đóng của các tập hợp của $\mathscr{B}$.) (b) Cho X là một không gian tách sao cho, với mọi phủ mở $\mathscr{R}$ của X, tồn tại một phủ đóng hữu hạn địa phương $\mathscr{F}$, mịn hơn $\mathscr{R}$. Chứng minh rằng X là paracompact. (Cho $\mathscr{R}$ là một phủ mở của X, $\mathscr{A}$ là một phủ hữu hạn địa phương của X, mịn hơn $\mathscr{R}$; với mọi $x$, lấy $W_x$ là một lân cận mở của $x$ chỉ gặp một số hữu hạn các tập hợp của $\mathscr{A}$. Cho $\mathscr{F}$ là một phủ đóng hữu hạn địa phương mịn hơn phủ được tạo bởi các $W_x$. Với mọi $A \in \mathscr{A}$, lấy $U_A$ là một tập hợp của $\mathscr{R}$ chứa A, và lấy $C_A$ là hợp của các tập hợp $F \in \mathscr{F}$ sao cho $A \cap F = \varnothing$. Chứng minh rằng khi A chạy qua $\mathscr{A}$, các tập hợp $U_A \cap (X - C_A)$ tạo thành một phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn $\mathscr{R}$.) (c) Suy ra từ a) và b) rằng nếu X là một không gian chính quy sao cho, với mọi phủ mở $\mathscr{R}$ của X, tồn tại một phủ hữu hạn địa phương (không nhất thiết mở) mịn hơn $\mathscr{R}$, thì X là paracompact.