Exercice 28, § 4

a) Soient $Y$ un espace compact, $X$ un sous-espace de $Y$, $U$ un voisinage ouvert de la diagonale $\Delta$ dans $X \times X$, $V$ un ouvert de $X \times Y$ tel que $V \cap (X \times X) = U$. Montrer que si, dans $X \times Y$, les ensembles fermés $\Delta$ et $C V$ sont normalement séparés (IX, p. 87, exerc. 15) alors $U$ est un entourage de la structure universelle de $X$ (utiliser IX, p. 84, exerc 4).

b) Soit $X$ un espace complètement régulier. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:

α) $X$ est paracompact.

β) Le produit de $X$ et de tout espace compact est normal.

γ) Si un filtre $\mathscr{F}$ sur $X$ est tel que, pour toute application continue $f$ de $X$ dans un espace métrisable $M$, $f(\mathscr{F})$ a un point adhérent dans $M$, alors $\mathscr{F}$ a un point adhérent dans $X$.

(En utilisant $a$), montrer d’abord que la condition $\beta$ implique que les voisinages de la diagonale $\Delta$ dans $X \times X$ forment un système fondamental d’entourages de la structure uniforme universelle $\mathscr{U}_\omega$. Pour prouver que $\beta$ entraîne $\gamma$, raisonner par l’absurde: considérer un espace compact $Z$ contenant $X$ (par exemple $\beta X$) et l’ensemble $A$ des points adhérents à $\mathscr{F}$ dans $Z$, et noter qu’il existe un voisinage $U$ de $\Delta$ dans $Z \times X$ tel que $\overline{U}$ ne rencontre pas $A \times X$. Soit $d$ un écart continu sur $X$ tel que l’ensemble des $(x, y) \in X \times X$ tels que $d(x, y) < 1$ soit contenu dans $U$; soient $X_d$ l’espace métrique associé à $d$ (IX, p. 11), $f : X \to X_d$ l’application canonique. En appliquant à $f(\mathscr{F})$ l’hypothèse $\gamma$, montrer qu’il y aurait sur $X$ un filtre $\mathscr{H}$ plus fin que $\mathscr{F}$, ayant un point adhérent dans $Z$ non contenu dans $A$. Pour voir que $\gamma$ entraîne $\alpha$), raisonner par l’absurde, en supposant qu’il y ait un recouvrement $\mathscr{R}$ de $X$ sans recouvrement ouvert localement fini plus fin; l’ensemble des complémentaires des réunions finies d’ensembles de $\mathscr{R}$ est alors une base de filtre $\mathscr{B}$ sans point adhérent; il existe par suite une application continue $f$ de $X$ dans un espace métrisable $M$ tel que $f(B)$ n’ait pas de point adhérent. Les extérieurs des ensembles de $f(\mathscr{B})$ forment alors un recouvrement ouvert de $M$; utilisant le fait que $M$ est paracompact, former un recouvrement ouvert localement fini de $X$ plus fin que $\mathscr{R}$, contredisant l’hypothèse.)