Bài tập 28, § 4

a) Cho $Y$ là một không gian compact, $X$ là một không gian con của $Y$, $U$ là một lân cận mở của đường chéo $\Delta$ trong $X \times X$, $V$ là một tập con mở của $X \times Y$ sao cho $V \cap (X \times X) = U$. Bây giờ chứng minh rằng nếu, trong $X \times Y$, các tập hợp đóng $\Delta$ và $C V$ phân ly chính quy (IX, p. 87, exer. 15) thì $U$ là một lân cận của cấu trúc phổ quát của $X$ (dùng IX, p. 84, exer 4).

b) Cho $X$ là một không gian chính quy hoàn toàn. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

α) $X$ là paracompact.

β) Tích của $X$ và mọi không gian compact là chuẩn.

γ) Nếu một lọc $\mathscr{F}$ trên $X$ sao cho, với mọi ánh xạ liên tục $f$ của $X$ vào một không gian metric được $M$, $f(\mathscr{F})$ có một điểm dính trong $M$, thì $\mathscr{F}$ có một điểm dính trong $X$.

(Dùng $a$), trước hết bây giờ chứng minh rằng điều kiện $\beta$ kéo theo các lân cận của đường chéo $\Delta$ trong $X \times X$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của cấu trúc đều phổ quát $\mathscr{U}_omega$. Để chứng minh rằng $\beta$ kéo theo $\gamma$, lập luận bằng phản chứng: xét một không gian compact $Z$ chứa $X$ (chẳng hạn $\beta X$) và tập hợp $A$ các điểm dính của $\mathscr{F}$ trong $Z$, và chú ý rằng tồn tại một lân cận $U$ của $\Delta$ trong $Z \times X$ sao cho $\overline{U}$ không gặp $A \times X$. Cho $d$ là một khoảng cách liên tục trên $X$ sao cho tập hợp các $(x, y) \in X \times X$ sao cho $d(x, y) < 1$ được chứa trong $U$; cho $X_d$ là không gian metric liên kết với $d$ (IX, p. 11), $f : X \to X_d$ là ánh xạ chính tắc. Bằng cách áp dụng giả thiết $\gamma$ cho $f(\mathscr{F})$, bây giờ chứng minh rằng khi đó tồn tại trên $X$ một lọc $\mathfrak{R}$ mịn hơn $\mathscr{F}$, có một điểm dính trong $Z$ không được chứa trong $A$. Để thấy rằng $\gamma$ kéo theo $\alpha$), lập luận bằng phản chứng, giả sử rằng có một phủ $\mathscr{R}$ của $X$ không có một phủ mở hữu hạn địa phương nào mịn hơn; tập hợp các phần bù của các hợp hữu hạn của các tập hợp của $\mathscr{R}$ khi đó là một cơ sở lọc $\mathscr{B}$ không có điểm dính; do đó tồn tại một ánh xạ liên tục $f$ của $X$ vào một không gian metric hóa được $M$ sao cho $f(B)$ không có điểm dính. Các phần ngoài của các tập hợp của $f(\mathscr{B})$ khi đó tạo thành một phủ mở của $M$; áp dụng sự kiện rằng $M$ là paracompact, tạo thành một phủ mở hữu hạn địa phương của $X$ mịn hơn $\mathscr{R}$, mâu thuẫn với giả thiết.)