Exercice 20, § 2

Soient X un espace métrique localement compact, G un groupe d’homéomorphismes de X, équicontinu et discret pour la topologie de la convergence simple (égale à la topologie de la convergence compacte sur G).

a) Montrer que s’il existe un point $x \in X$ et une suite $(u_n)$ d’éléments distincts de G tels que la suite des $u_n(x)$ soit convergente, alors il existe une suite $(v_n)$ d’éléments distincts de G telle que $\lim_{n \to \infty} v_n(x) = x$. En déduire qu’il existe alors deux voisinages compacts K, L de x tels que $v_n(K) \subset L$ pour tout n.

b) Les hypothèses sur G n’entraînent pas que G est propre en au moins un point de X (exerc. 19 c)). On dit que G est K-discret pour une partie compacte K de X, si G est discret pour la topologie de la convergence uniforme dans K (ou, ce qui revient au même, pour la topologie de la convergence simple dans K). Montrer que si G est K-discret pour toute partie compacte K de X, G opère proprement dans X (utiliser a)).

c) On suppose que G est uniformément équicontinu et que X est connexe (donc de type dénombrable (IX, p. 95, exerc. 17)); montrer alors que G opère proprement dans X. (Utilisant X, p. 45, exerc. 13 d), montrer que si une suite $(v_n)$ d’éléments distincts de G était telle que $\lim_{n \to \infty} v_n(x) = x$ pour un $x \in X$, il existerait une suite extraite de $(v_n)$ et tendant vers l’identité pour la topologie discrète). Donner un exemple où X est connexe mais G n’est pas K-discret pour toute partie compacte de X (prendre pour X la réunion, dans $\mathbf{R}^2$, des segments $-1 \leq x \leq 1, y = 0$ et $x = 0, 0 \leq y \leq 1$).