Bài tập 20, § 2

Cho $X$ là một không gian metric compact địa phương, $G$ là một nhóm các phép đồng phôi của $X$, đẳng liên tục và rời rạc đối với tôpô của hội tụ đơn (bằng tôpô của hội tụ compact trên $G$).

(a) Bây giờ chứng minh rằng nếu tồn tại một điểm $x \in X$ và một dãy $(u_n)$ gồm các phần tử phân biệt của $G$ sao cho dãy các $u_n(x)$ là hội tụ, thì tồn tại một dãy $(v_n)$ gồm các phần tử phân biệt của $G$ sao cho $\lim_{n \to \infty} v_n(x) = x$. Suy ra rằng khi đó tồn tại hai lân cận compact K, L của x sao cho $v_n(K) \subset L$ với mọi n.

(b) Các giả thiết trên $G$ không suy ra rằng $G$ thực sự tại ít nhất một điểm của $X$ (Bài tập 19 c)). Ta nói rằng $G$ là K-rời rạc đối với một tập con compact K của $X$, nếu $G$ là rời rạc đối với tôpô của hội tụ đều trong K (hoặc, tương đương, đối với tôpô của hội tụ đơn trong K). Bây giờ chứng minh rằng nếu $G$ là K-rời rạc đối với mọi tập con compact K của $X$, thì $G$ tác động thực sự trong $X$ (sử dụng a)).

(c) Giả sử rằng $G$ là đẳng liên tục đều và $X$ là liên thông (do đó có kiểu đếm được (IX, p. 95, Bài tập 17)); bây giờ chứng minh rằng $G$ tác động thực sự trong $X$. (Sử dụng X, p. 45, Bài tập 13 d), chứng minh rằng nếu một dãy $(v_n)$ gồm các phần tử phân biệt của $G$ sao cho $\lim_{n \to \infty} v_n(x) = x$ với một $x \in X$, thì sẽ tồn tại một dãy con của $(v_n)$ hội tụ tới phần tử đơn vị đối với tôpô rời rạc). Cho một ví dụ trong đó X là liên thông nhưng G không là K-rời rạc đối với mọi tập con compact của X (lấy X là hợp trong $\mathbf{R}^2$ của các đoạn $-1 \leq x \leq 1, y = 0$ và $x = 0, 0 \leq y \leq 1$).