Exercice 15, § 4

Soient $X$ un espace complètement régulier, $\beta X$ son compactifié de Stone-Čech; on munit l’anneau $A = \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ de la topologie $\mathscr{T}$ définie dans l’exerc. 14. Pour tout $f \in A$, soit $V(f)$ l’adhérence dans $\beta X$ de la partie $f^{-1}(0)$ de $X$. Pour toute partie $M$ de $A$, on désigne par $V(M)$ l’intersection des $V(f)$ pour $f \in M$. Pour toute partie $Y$ de $\beta X$, on désigne par $\mathscr{F}(Y)$ l’ensemble des $f \in A$ tels que $Y \subset V(f)$; on écrira $\mathscr{F}(x)$ au lieu de $\mathscr{F}(\{x\})$. Pour que $V(f) = \varnothing$, il faut et il suffit que $f$ soit inversible dans $A$. a) Si $f, g$ sont deux fonctions de $A$ telles que $f^{-1}(0) \cap g^{-1}(0) = \varnothing$, montrer que l’on a aussi $V(f) \cap V(g) = \varnothing$ (considérer la fonction continue bornée $|f|/(|f| + |g|)$). En déduire que, pour toute partie $M$ de $A$, on a $V(M) = V(a)$, où $a$ est l’idéal engendré par $M$ dans $A$. b) Montrer que pour toute partie $Y$ de $\beta X$, $\mathscr{F}(Y)$ est un idéal de $A$ (utiliser $a$), et que l’on a $V(\mathscr{F}(Y)) = \overline{Y}$ (adhérence de $Y$ dans $\beta X$). c) Soient $u$ une fonction de $A$ telle que $u(x) > 0$ pour tout $x \in X$, $g$ une fonction de $A$. Montrer qu’il existe $f \in A$ telle que $|f - g| \leq u$ et que $V(f)$ soit un voisinage de $V(g)$. (Montrer que la fonction $f$ égale à $g + u$ si $g(x) + u(x) < 0$, à $g - u$ si $g(x) - u(x) > 0$, à 0 ailleurs, répond à la question; on considérera la fonction $f' = \inf((u + g)^+, (u - g)^-)$ et on utilisera $a$). d) Soit $a$ un idéal de $A$; montrer que si $f \in A$ est telle que $V(f)$ soit un voisinage de $V(a)$, on a $f \in a$. (Remarquer d’abord qu’il existe $g \in a$ telle que $V(g)$ soit contenu dans l’intérieur de $V(f)$, puis considérer la fonction $h$ définie dans $X$, égale à $f(x)/g(x)$ si $f(x) \neq 0$, à 0 si $f(x) = 0$. e) Déduire de c) et d) que pour tout idéal $a$ de $A$, $\mathscr{F}(V(a)) = \overline{a}$. (On montrera d’abord que pour toute partie $M$ de $A$, $V(M) = V(\overline{M})$, en raisonnant par l’absurde). En déduire que pour toute partie $Y$ de $\beta X$, $\mathscr{F}(Y)$ est un idéal fermé de $A$ (remarquer que $\mathscr{F}(Y) = \mathscr{F}(V(\mathscr{F}(Y)))$). f) Conclure de e) que $x \mapsto \mathscr{F}(x)$ est une bijection de $\beta X$ sur l’ensemble des idéaux maximaux (nécessairement fermés) de $A$. Pour qu’un idéal de $A$ soit fermé, il faut et il suffit qu’il soit intersection d’idéaux maximaux. L’anneau $A$ est sans radical.