Bài tập 15, § 4

Cho $X$ là một không gian chính quy hoàn toàn và cho $\beta X$ là compact hóa Stone-Čech của nó. Trang bị cho vành $A = \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ tôpô $\mathscr{T}$ được định nghĩa trong Bài tập 14. Với mỗi $f \in A$, cho $V(f)$ là bao đóng trong $\beta X$ của tập con $\overline{f}(0)$ của $X$. Với mỗi tập con $M$ của $A$, ký hiệu $V(M)$ là $\bigcap_{f \in M} V(f)$. Với mỗi tập con $Y$ của $\beta X$, ký hiệu $\mathfrak{J}(Y)$ là tập hợp tất cả các $f \in A$ sao cho $Y \subset V(f)$, và viết $\mathfrak{J}(x)$ thay cho $\mathfrak{J}(\{x\})$. Ta có $V(f) = \varnothing$ khi và chỉ khi $f$ là một phần tử khả nghịch trong $A$.

a) Nếu $f, g$ là hai phần tử của $A$ sao cho $\overline{f}(0) \cap \overline{g}(0) = \varnothing$, chứng minh rằng $V(f) \cap V(g) = \varnothing$. [Xét hàm $|f|/(|f| + |g|)$. Suy ra rằng, với mỗi tập con $M$ của $A$, ta có $V(M) = V(a)$, trong đó $a$ là iđêan sinh bởi $M$ trong $A'$.

b) Chứng minh rằng, với mỗi tập con $Y$ của $\beta X$, $\mathfrak{J}(Y)$ là một iđêan của $A$ [dùng a)] và rằng $V(\mathfrak{J}(Y))$ là bao đóng $\overline{Y}$ của $Y$ trong $\beta X$.

c) Cho $u \in A$ sao cho $u(x) > 0$ với mọi $x \in X$, và cho $g \in A$. Chứng minh rằng tồn tại $f \in A$ sao cho $|f - g| \leq u$ và sao cho $V(f)$ là một lân cận của $V(g)$. [Định nghĩa $f$ bằng $g + u$ nếu $g(x) + u(x) < 0$, bằng $g - u$ nếu $g(x) - u(x) > 0$, và bằng 0 trong các trường hợp khác; xét hàm $f' = \inf((u + g)^+, (u - g)^-)$ và dùng a).]

d) Cho $a$ là một iđêan của $A$. Chứng minh rằng nếu $f \in A$ là sao cho $V(f)$ là một lân cận của $V(a)$, thì $f \in a$. [Trước hết chú ý rằng tồn tại $g \in a$ sao cho $V(g)$ được chứa trong phần trong của $V(f)$, rồi xét hàm $h$ xác định trên $X$ bằng $f(x)/g(x)$ nếu $f(x) \neq 0$, và bằng $0$ nếu $f(x) = 0$.]

e) Suy ra từ c) và d) rằng $\mathfrak{J}(V(a)) = \overline{a}$ với mọi iđêan $a$ của $A$. [Trước hết chứng minh rằng $V(M) = V(\overline{M})$ với mọi tập con $M$ của $A$, bằng cách lập luận phản chứng.] Suy ra rằng, với mỗi tập con $Y$ của $\beta X$, $\mathfrak{J}(Y)$ là một iđêan đóng của $A$. [Chú ý rằng $\mathfrak{J}(Y) = \mathfrak{J}(V(\mathfrak{J}(Y)))$.]

f) Dùng e) để chứng minh rằng $x \to \mathfrak{J}(x)$ là một song ánh của $\beta X$ lên tập hợp các iđêan cực đại (nhất thiết đóng) của $A$. Một iđêan của $A$ là đóng khi và chỉ khi nó là một giao của các iđêan cực đại. Vành $A$ không có căn.