Exercice 19, § 4

a) Soit $X$ un espace complètement régulier; montrer qu’un point $a$ de $\beta X - \upsilon X$ ne peut admettre de système fondamental de voisinages connexes dans $\beta X$. Observer qu’il existe une fonction $f \in C(X; \mathbf{R})$ qui tend vers $+\infty$ au point $a$. Pour $i = 0, 1, 2, 3$, soit $Z_i$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $n \leq f(x) \leq n+1$ pour un $n \equiv i \pmod{4}$. Si par exemple $a$ est adhérent à $Z_3$, observer que $Z_1$ et $Z_3$ sont normalement séparés dans $X$ (IX, p. 87, exerc. 15), et par suite qu’il existe un voisinage ouvert $U$ de $a$ dans $\beta X$ tel que $Z_1 \cap U = \varnothing$. Montrer qu’il n’est pas possible qu’il existe un voisinage connexe $U' \subset U$ de $a$, en utilisant IX, p. 87, exerc. 16.

b) Déduire de a) que, pour que $\beta X$ soit localement connexe, il faut et il suffit que $X$ soit localement connexe et weierstrassien (cf. IX, p. 105, exerc. 21).