Bài tập 24, § 1

Cho G là một nhóm, $e$ là phần tử đơn vị của nó, và A là một vành giao hoán khác không. Ký hiệu đại số của nhóm G trên A bởi A[G] (III, §2, No. 6, p. 446). a) Cho I là một tập hợp hữu hạn, $(G_i)_{i\in I}$ là một họ các nhóm con của G, và $(g_i)_{i\in I}$ là một họ các phần tử của G. Chứng minh rằng nếu G là hợp của họ $(g_iG_i)_{i\in I}$, thì một trong các nhóm con $G_i$ có chỉ số hữu hạn trong G.

b) Giả sử rằng mọi lớp liên hợp trong G khác với $\{e\}$ đều là vô hạn và rằng vành A là một miền nguyên. Chứng minh rằng nếu $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ là hai iđêan hai phía khác không của vành A[G], ta có $\mathfrak{a}\mathfrak{b}\not= 0$. (Chọn các phần tử $a=\sum a_gg$ và $b=\sum b_gg$ trong $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ với $a_e\not= 0$ và $b_e\not= 0$. Dùng a), chứng minh rằng, nếu cần thiết thay thế $a$ bởi $hah^{-1}$ với $h\in G$ thích hợp, ta có thể giả sử rằng $a_gb_{g^{-1}}= 0$ với mọi $g\not=e$ trong G.) $*$c) Chứng minh rằng vành A[G] là Artin trái (tương ứng phải) nếu và chỉ nếu vành A là

Artin và nhóm G là hữu hạn. (Nếu A[G] là Artin trái, suy ra từ Định lý 1 của VIII, p. 6 rằng nhóm G có độ dài hữu hạn; để chứng minh rằng nó là hữu hạn, rút gọn về trường hợp A là một trường và G là một nhóm đơn, rồi dùng b) và Mệnh đề 1 của VIII, p. 173$).*$