Exercice 24, § 1

Soient G un groupe, $e$ son élément neutre et A un anneau commutatif non nul. Notons A[G] l’algèbre du groupe G sur A (III, p. 19).

a) Soient I un ensemble fini$, (G_i)_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G et $(g_i)_{i\in I}$ une famille d’éléments de G. Démontrer que si G est réunion de la famille $(g_iG_i)_{i\in I}$, l’un des sous-groupes $G_i$ est d’indice fini dans G.

b) Supposons que toute classe de conjugaison dans G distincte de $\{e\}$ soit infinie et que l’anneau A soit intègre. Démontrer que si $\mathfrak{a}$ et $\mathfrak{b}$ sont deux idéaux bilatères non nuls de l’anneau A[G], on a $\mathfrak{a}\mathfrak{b}\not= 0$. (Choisir des éléments $a=\sum a_gg$ et $b=\sum b_gg$ de $\mathfrak{a}$ et $\mathfrak{b}$ avec $a_e\not= 0$ et $b_e\not= 0$. En utilisant a), démontrer que, quitte à remplacer $a$ par $hah^{-1}$ avec $h\in G$ convenable, on peut supposer que $a_gb_{g^{-1}}= 0$ pour tout $g\not=e$ dans G.)

$*$c) Démontrer que, pour que l’anneau A[G] soit artinien à gauche (resp. à droite),

il faut et il suffit que l’anneau A soit artinien et que le groupe G soit fini. (Si A[G] est artinien à gauche, déduire du th. 1 de VIII, p. 5 que le groupe G est de longueur finie ; pour prouver qu’il est fini, se ramener au cas où A est un corps et G un groupe simple, puis utiliser b) et la prop. 1 de VIII, p. 169$)*$