Bài tập 16, § 12

Cho D là một trường, V là một không gian vectơ phải vô hạn chiều trên D, và A là một vành con trù mật của vành End$_D(V)$ có đế $\mathfrak{s}$ khác không (VIII, p. 130, Bài tập 8 và 9). Cho K là một trường con của tâm của D và B là một đại số trên K. Chứng minh rằng nếu căn của đại số trên K $D^o\otimes B$ khác không, thì căn của $A\otimes B$ cũng vậy. (Đặt $\mathfrak{a}$ là tập hợp các phần tử $\sum u_i\otimes b_i$ của $\mathfrak{s}\otimes B$ thỏa mãn $\sum\langle u_i(x), x^*\rangle \otimes b_i\in \mathfrak{R}(D^o\otimes B)$ với mọi $x\in V$ và $x^*\in V^*$. Chứng minh rằng $\mathfrak{a}$ là một iđêan hai phía của $A\otimes B$ và, bằng cách dùng Bài tập 10, e) của VIII, p. 167 và 9 của VIII, p. 131, rằng nó khác không và được chứa trong căn của $A\otimes B.)$