Exercice 16, § 12

Soient D un corps, V un espace vectoriel à droite de dimension infinie sur D et A un sous-anneau dense de l’anneau End$_D$(V), dont le socle $\mathfrak{s}$ n’est pas nul (VIII, p. 126, exerc. 8 et p. 127 exerc. 9). Soient K un sous-corps du centre de D et B une K-algèbre. Démontrer que si la K-algèbre $D^o\otimes B$ a son radical non nul, il en est de même de $A\otimes B$ (soit $\mathfrak{a}$ l’ensemble des éléments $\sum u_i\otimes b_i$ de $\mathfrak{s}\otimes B$ satisfaisant à $\sum\langle u_i(x), x^*\rangle \otimes b_i\in \mathfrak{R}(D^o\otimes B)$ quels que soient $x\in V,x^*\in V^*$; démontrer que $\mathfrak{a}$ est un idéal bilatère de $A\otimes B$, puis en utilisant les exerc. 10, e) de VIII, p. 162 et 9 de VIII, p. 127 qu’il n’est pas nul et qu’il est contenu dans le radical de $A\otimes B)$.