Bài tập 13, § 2

Cho A là một miền nguyên địa phương không phải là một trường (ví dụ $\mathbf{Z}_{(p)}$, xem VIII, p. 26, Ví dụ 5), và cho $a$ là một phần tử khác không không khả nghịch của A. Ký hiệu A-môđun $A^{(\mathbf{N})}$ bởi M và cơ sở chính tắc của nó bởi $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$. Chứng minh rằng dãy $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$, trong đó $f_{2m}=e_{2m}$ và $f_{2m+1}=e_{2m+1}+ae_{2m+2}$ với mọi $m\geqslant 0$, là một cơ sở của M trên A. Chứng minh rằng môđun con $N =\sum_mA(e_{2m}+ae_{2m+1})$ của M là một nhân tử trực tiếp nhưng không có tập con J nào của $\mathbf{N}$ sao cho$\sum^{\geqslant 0}_{n\in J}Af_j$ là bù cho $\mathbf{N}$. Suy ra rằng trong Hệ quả 5 của VIII, p. 35, ta không thể bỏ giả thiết rằng I là hữu hạn.