Exercice 13, § 2

Soit A un anneau local intègre qui n’est pas un corps (par exemple $\mathbf{Z}_{(p)}$,cf. VIII, p. 24, exemple 5) et soit $a$ un élément non nul et non inversible de A. Notons M le A-module $A^{(\mathbf{N})}$ et $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ sa base canonique. Démontrer que la suite $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$, où $f_{2m}=e_{2m}$ et $f_{2m+1}=e_{2m+1}+ae_{2m+2}$ pour tout $m\geqslant 0$, est une base de M sur A. Démontrer que $N =\sum_{m\geqslant 0}A(e_{2m}+ae_{2m+1})$ est un sous-module facteur direct de M, mais qu’il n’existe aucune partie J de $\mathbf{N}$telle que $\sum_{n\in J}Af_j$ soit un supplémentaire de $\mathbf{N}$. En déduire que l’on ne peut, dans le cor. 5 de VIII, p. 33, supprimer l’hypothèse que I est fini.