Bài tập 7, § 2

Ký hiệu bởi A (tương ứng $\mathfrak{a}$) tập hợp các phân thức hữu tỉ có dạng $P/(X^2+ 1)^n$, trong đó $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$ và $P\in \mathbf{Q}[X]$ là một đa thức có bậc $\leqslant 2n$ (tương ứng $\leqslant 2n-1$). a) Chứng minh rằng A là một vành con của trường $\mathbf{Q}(X)$ và rằng $\mathfrak{a}$ là một iđêan của vành A. b) Các A-môđun $\mathfrak{a}\oplus \mathfrak{a}$ và $A\oplus A$ là đẳng cấu. A-môđun $\mathfrak{a}$ là xạ ảnh và sinh hữu hạn nhưng không đẳng cấu với A.

c) Tồn tại một mở rộng bậc hai K của trường $\mathbf{Q}$ sao cho các $A_{(K)}$-môđun $\mathfrak{a}_{(K)}$ và $A_{(K)}$ là đẳng cấu.