Exercice 7, § 2

Notons A (resp. $\mathfrak{a}$) l’ensemble des fractions rationnelles de la forme $P/(X^2+ 1)^n$, où $n$ est un entier $\geqslant 0$ et $P\in \mathbf{Q}[X]$ un polynôme de degré $\leqslant 2n$ (resp. $\leqslant 2n-1$).

a) Démontrer que A est un sous-anneau du corps $\mathbf{Q}(X)$ et que $\mathfrak{a}$ est un idéal de l’anneau A.

b) Les A-modules $\mathfrak{a}\oplus \mathfrak{a}$ et $A\oplus A$ sont isomorphes. Le A-module $\mathfrak{a}$ est projectif de type fini, mais n’est pas isomorphe à A.

c) Il existe une extension quadratique K du corps $\mathbf{Q}$telle que les $A_{(K)}$-modules $\mathfrak{a}_{(K)}$ et $A_{(K)}$ soient isomorphes.