Bài tập 27, § 21

Cho F là một trường đóng đại số có đặc số $p >0$ và G là một nhóm hữu hạn.

a) Cho $x\in G$. Chứng minh rằng tồn tại một phân tích duy nhất $x=x_ux_s$, trong đó cấp của $x_u$ là một lũy thừa của $p$, cấp của $x_s$ nguyên tố cùng nhau với $p$, và $x_u$ và $x_s$ giao hoán với nhau. Các phần tử $x_u$ và $x_s$ là những lũy thừa của $x$.

b) Cho $\pi$ là một biểu diễn tuyến tính của G trên F có bậc hữu hạn. Chứng minh rằng ta có $\chi_{\pi}(x) =\chi_{\pi}(x_s)$ với mọi $x\in G$.

c) Ta nói rằng một phần tử $x$ của G là $p$-chính quy nếu cấp của nó nguyên tố cùng nhau với $p$; ta ký hiệu bởi $G^{reg}$ tập hợp các phần tử $p$-chính quy của G và bởi $\mathscr{Z}_F(G^{reg})$ không gian các hàm trung tâm từ $G^{reg}$ vào F. Từ đồng cấu $R_F(G)\rightarrow \mathscr{Z}_F(G^{reg})$ gửi lớp của một biểu diễn $\pi$ tới hạn chế của $\chi_{\pi}$ trên $G^{reg}$, suy ra một đồng cấu vành $\psi : F\otimes_{\mathbf{Z}}R_F(G)\rightarrow \mathscr{Z}_F(G^{reg})$. Chứng minh rằng $\psi$ là đơn ánh (dùng b) và hệ quả ở VIII, p. 384).

d) Cho $x$ là một phần tử $p$-chính quy của $G, Z(x)$ là hoán tập của nó, P là một $p$-nhóm con Sylow của $Z(x)$, và $H_x$ là nhóm con của G sinh bởi P và $x$. Chứng minh rằng $H_x$ là tích trực tiếp của P và nhóm con của G sinh bởi $x$ và lớp liên hợp của nó được xác định bởi lớp liên hợp của $x$.

e) Xây dựng các biểu diễn $\sigma_1, . . . , \sigma_m$ của $H_x$ bậc 1 và các phần tử $a_1, . . . , a_m$ của F sao cho hàm $\sum a_i\chi_{\sigma_i}$ nhận giá trị 1 tại $x$ và 0 tại các lũy thừa khác của $x$ (trước hết hãy xây dựng các biểu diễn của nhóm con sinh bởi $x$). Đặt $\rho_i=$ Ind$^G_{H_x}\pi_i$ với $i= 1, . . . , m$, và đặt $f=\sum_ia_i\chi_{\rho_i}$. Chứng minh rằng $f(x)$ bằng $(Z(x) : H_x) 1_F$, phần tử này khác không trong F, và $f(y)$ bằng không với mọi phần tử $p$-chính quy của G không liên hợp với $x$.

f ) Suy ra từ e) rằng đồng cấu $\psi : F\otimes_{\mathbf{Z}}R_F(G)\rightarrow \mathscr{Z}_F(G^{reg})$ là song ánh. Đặc biệt, số các lớp đẳng cấu của các F[G]-môđun đơn bằng số các lớp liên hợp của các phần tử $p$-chính quy của G.