Exercice 27, § 21

Soient F un corps algébriquement clos de caractéristique $p >0$ et G un groupe fini.

a) Soit $x\in G$; démontrer qu’il existe une unique décomposition $x=x_ux_s$, où l’ordre de $x_u$ est une puissance de $p$, celui de $x_s$ est étranger à $p$, et $x_u$ et $x_s$ commutent. Les éléments $x_u$ et $x_s$ sont des puissances de $x$.

b) Soit $\pi$ une représentation linéaire de degré fini de G sur F. Démontrer qu’on a $\chi_{\pi}(x) =\chi_{\pi}(x_s)$ pour tout $x\in G$.

c) On dit qu’un élément $x$ de G est $p$-régulier si son ordre est étranger à $p$; on note $G^{reg}$ l’ensemble des éléments $p$-réguliers de G, et $\mathscr{Z}_F(G^{reg})$ l’espace des fonctions centrales de $G^{reg}$ dans F. On déduit de l’homomorphisme $R_F(G)\rightarrow \mathscr{Z}_F(G^{reg})$ qui applique la classe d’une représentation $\pi$ sur la restriction de $\chi_{\pi}$ à $G^{reg}$ un homomorphisme d’anneaux $\psi : F\otimes_{\mathbf{Z}}R_F(G)\rightarrow \mathscr{Z}_F(G^{reg})$; prouver que $\psi$ est injectif (utiliser b) et le corollaire de VIII, p. 376).

d) Soient $x$ un élément $p$-régulier de $G, Z(x)$ son centralisateur, P un sous-$p$-groupe de Sylow de $Z(x)$ et $H_x$ le sous-groupe de G engendré par P et $x$. Prouver que $H_x$ est produit direct de P et du sous-groupe de G engendré par $x$ et que sa classe de conjugaison est bien déterminée par la classe de conjugaison de $x$.

e) Construire des représentations de degré un $\sigma_1, . . . , \sigma_m$ de $H_x$ et des éléments $a_1, . . . , a_m$ de F tels que la fonction $\sum a_i\chi_{\sigma_i}$ prenne la valeur 1 en $x$ et 0 en les autres puissances de $x$ (construire d’abord des représentations du sous-groupe engendré par $x$). Soit $\rho_i=$ Ind$^G_{H_x}\pi_i$ pour $i= 1, . . . , m$ et soit $f=\sum_ia_i\chi_{\rho_i}$; démontrer que $f(x)$ est égal à $(Z(x) : H_x) 1_F$, qui est non nul dans F et que $f(y)$ est nul pour tout élément $p$-régulier de G qui n’est pas conjugué à $x$.

f ) Déduire de e) que l’homomorphisme $\psi : F\otimes_{\mathbf{Z}}R_F(G)\rightarrow \mathscr{Z}_F(G^{reg})$ est bijectif. En particulier, le nombre des classes d’isomorphisme de F[G]-modules simples est égal au nombre des classes de conjugaison d’éléments $p$-réguliers de G.