Bài tập 16, § 4

Cho H là một nhóm con liên thông đóng của G sao cho $T\cap H$ là một xuyến cực đại S của H. Cho $\lambda \in R(H,S)$; ký hiệu $R(\lambda )$ là tập hợp các nghiệm của $R(G,T)$ mà hạn chế của chúng lên S bằng $\lambda$.

a) Chứng minh rằng $R(\lambda )$ không rỗng.

b) Cho $w\in W_H(S)$; chứng minh rằng tồn tại một phần tử $\overline{w}$ của $W_G(T)$ sao cho $R(w\lambda ) = \overline{w}R(\lambda )$ (dùng Bài tập 4 của §2). c) Cho $P(\lambda )$ là giao của $R(G,T)$ với nhóm con của X(T) sinh bởi $R(\lambda )$. Chứng minh rằng tồn tại một nhóm con đóng $G_{\lambda}$ của G chứa T sao cho $P(\lambda ) = R(G_{\lambda},T)$. Suy ra rằng phép phản xạ $s_{\lambda}\in W_H(S)$ là hạn chế lên S của một tích các phép phản xạ $s_{\alpha}$ với $\alpha \in P(\lambda )$.

d) Chứng minh rằng vectơ nút $K_{\lambda}\in L(S)$ liên kết với $\lambda$ là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số nguyên của các $K_{\alpha}$ với $\alpha \in R(\lambda )$.

e) Cho $B_H$ là một cơ sở của $R(H,S)$. Chứng minh rằng $R(\lambda )$ được chứa trong nhóm con của X(T) sinh bởi hợp của các $R(\mu)$ với $\mu\in B_H$ (chứng minh rằng tập hợp các $\lambda \in R(H,S)$ có tính chất đã nêu là ổn định dưới $s_\mu$ với mọi $\mu\in B_H$, và dùng $c$)$)$.