Exercice 16, § 4

Soit H un sous-groupe fermé connexe de G, tel que $T \cap H$ soit un tore maximal S de H. Soit $\lambda \in R(H, S)$; on note R(λ) l’ensemble des racines de R(G, T) dont la restriction à S est égale à λ. a) Montrer que R(λ) n’est pas vide. b) Soit $w \in W_H(S)$; montrer qu’il existe un élément $\overline{w}$ de $W_G(T)$ tel que $R(w\lambda) = \overline{w} R(\lambda)$ (utiliser l’exerc. 4 du § 2). c) Soit P(λ) l’intersection avec R(G, T) du sous-groupe de X(T) engendré par R(λ). Montrer qu’il existe un sous-groupe fermé $G_\lambda$ de G contenant T tel que $P(\lambda) = R(G_\lambda, T)$. En déduire que la réflexion $s_\lambda \in W_H(S)$ est la restriction à S d’un produit de réflexions $s_\alpha$ avec $\alpha \in P(\lambda)$. d) Montrer que le vecteur nodal $K_\lambda \in L(S)$ associé à λ est combinaison linéaire à coefficients entiers des $K_\alpha$ pour $\alpha \in R(\lambda)$. e) Soit $B_H$ une base de R(H, S). Montrer que R(λ) est contenu dans le sous-groupe de X(T) engendré par la réunion des R(μ) pour $\mu \in B_H$ (prouver que l’ensemble des $\lambda \in R(H, S)$ possédant la propriété énoncée est stable par $s_\mu$ pour $\mu \in B_H$, en utilisant c)).