Bài tập 19, § 4

Giữ các ký hiệu của Bài tập 16 đến 18; giả sử rằng nhóm con H là chính. Trang bị cho $X(T)\otimes \mathbf{R}$ (tương ứng $X(S)\otimes \mathbf{R}$) một tích vô hướng bất biến dưới $W_G(T)$ (tương ứng dưới $W_H(S)$). Gọi $\lambda , \mu$ là hai nghiệm trong $B_H$.

a) Chứng minh rằng, nếu $\lambda$ và $\mu$ trực giao, thì các tập hợp $R(\lambda )$ và $R(\mu)$ trực giao. Suy ra rằng nếu G gần đơn thì H cũng vậy.

b) Từ nay giả sử rằng $n(\lambda , \mu) =-1$. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ toàn ánh $u: R(\lambda )\rightarrow R(\mu)$ sao cho, với $\alpha \in R(\lambda ),u(\alpha )$ là nghiệm duy nhất của $R(\mu)$ liên kết (nghĩa là, không trực giao) với $\alpha$; ta có $K_\mu=\sum_{\beta\in R(\mu)}K_{\beta}$, và các nghiệm

trong $R(\mu)$ trực giao từng đôi một (hãy viết $K_\mu$ và $K_{\lambda}$ như các tổ hợp tuyến tính của các $K_{\alpha}$, rồi đồng nhất các hệ số).

c) Nếu $n(\mu, \lambda ) =-1$, thì ánh xạ $u$ là song ánh, và các cặp nghiệm liên kết duy nhất trong $R(\lambda )\cup R(\mu)$ là các cặp $(\alpha , u(\alpha ))$ với $\alpha \in R(\lambda )$.

d) Giả sử rằng $n(\mu, \lambda ) =-2$; gọi $\beta \in R(\mu)$. Chứng minh rằng $u^{-1}(\beta )$ chứa hoặc một hoặc hai phần tử; nếu $u^{-1}(\beta ) =\{\alpha_1, \alpha_2\}$, thì nghiệm $\alpha_i(i= 1,2)$ trực giao với các nghiệm khác trong $R(\lambda )$, và có cùng độ dài với $\beta$; nếu $u^{-1}(\beta ) =\{\alpha \}$ và $\|\alpha \|=\|\beta \|,\alpha$ liên kết với một nghiệm duy nhất $\alpha '\in R(\lambda )$, có cùng độ dài với $\alpha$, và $\{\alpha , \alpha '\}$ trực giao với phần còn lại của $R(\lambda )$; nếu $u^{-1}(\beta ) =\{\alpha \}$ và $\|\alpha \| \not=\|\beta \|,\alpha$ trực giao với các nghiệm khác trong $R(\lambda )$.

e) Nghiên cứu tương tự trường hợp $n(\mu, \lambda ) =-3$.