Exercice 19, § 4

On garde les notations des exerc. 16 à 18 ; on suppose le sous-groupe H principal. On munit X(T) ⊗ R (resp. X(S) ⊗ R) d'un produit scalaire invariant par W_G(T) (resp. par W_H(S)). Soient λ, μ deux racines de B_H. a) Si λ et μ sont orthogonales, montrer que les ensembles R(λ) et R(μ) sont orthogonaux. En déduire que si G est presque simple, il en est de même de H. b) On suppose désormais n(λ, μ) = −1. Montrer qu'il existe une application surjective u : R(λ) → R(μ) telle que pour α ∈ R(λ), u(α) soit l'unique racine de R(μ) liée (c'est-à-dire non orthogonale) à α ; on a K_μ = ∑_{β ∈ R(μ)} K_β, et les racines de R(μ) sont deux à deux orthogonales (écrire K_μ et K_λ comme combinaison linéaire des K_α, puis identifier les coefficients). c) Si n(μ, λ) = −1, l'application u est bijective, et les seules paires de racines liées dans R(λ) ∪ R(μ) sont les paires (α, u(α)) pour α ∈ R(λ). d) On suppose n(μ, λ) = −2 ; soit β ∈ R(μ). Montrer que u^{-1}(β) contient un ou deux éléments ; si u^{-1}(β) = {α_1, α_2}, la racine α_i (i = 1, 2) est orthogonale aux autres racines de R(λ), et a même longueur que β ; si u^{-1}(β) = {α} et \|α\| = \|β\|, α est liée à une seule racine α' ∈ R(λ), de même longueur que α, et {α, α'} est orthogonal au reste de R(λ) ; si u^{-1}(β) = {α} et \|α\| ≠ \|β\|, α est orthogonale aux autres racines de R(λ). e) Étudier de même le cas n(μ, λ) = −3.