Bài tập 2, § 4

Lấy $G =\mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$, với $n\geq 3$; đặt $n= 2l+ 1$ nếu $n$ là lẻ, và $n=$ $2l$ nếu $n$ là chẵn. Đại số $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ có thể được đồng nhất với $\mathfrak{o}(n,\mathbf{C})$; ta sử dụng các ký hiệu của Chương VIII, §13, các số 2 và 4. Ký hiệu $(f_i)_{1\leq i\leq n}$ là cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^n$. Đặt $e_j\surd =^{\surd 1}_{\overline{2}}(f_{2j-1}+if_{2j})$ và $e_{-j}$ = $^{\surd 1}_{\overline{2}}(f_{2j-1}-if_{2j})$ với $1\leq j\leq l$, và $e_0=i\overline{2}f_{2l+1}$ nếu $n$ là lẻ; chọn cơ sở Witt của $\mathbf{C}^n$ cho bởi $e_1, . . . , e_l, e_{-l}, . . . , e_{-1}$ nếu $n$ là chẵn (tương ứng $e_1, . . . , e_l, e_0, e_{-l}, . . . , e_{-1}$ nếu $n$ là lẻ).

a) Cho $H_i$ là không gian con của $\mathbf{R}^n$ sinh bởi $f_{2i-1}$ và $f_{2i}(1\leq i\leq l)$; hãy chỉ ra rằng nhóm con của G gồm các phần tử $g$ sao cho $g(H_i)\subset H_i$ và det($g|H_i$) $= 1$ với $1\leq i\leq l$ là một xuyến cực đại T của G, và rằng $L(T)_{(\mathbf{C})}=\mathfrak{h}$. b) Đồng nhất X(T) với một nhóm con của $\mathfrak{h}^*$ bằng cách dùng $\delta$. Hãy chỉ ra rằng các dạng tuyến tính $\varepsilon_i$ thuộc X(T); nếu $t\in T$ và nếu hạn chế của $t$ lên $H_j$ là một phép quay qua một góc $\theta_j$, thì $\varepsilon_j(t) =e^{i\theta_j}$. Các trọng số $\varpi_1, . . . , \varpi_{l-2}$; $2\varpi_{l-1},2\varpi_l, \varpi_{l-1}\pm \varpi_l$ thuộc X(T). Nếu $n$ là lẻ, $\varpi_{l-1}$ thuộc X(T). c) Cho $\widetilde{G} =$ Spin$(n,\mathbf{R})$ và cho $\varphi : \widetilde{G}\rightarrow G$ là phủ chính tắc. Với

$\theta \theta = (\theta_1, . . . , \theta_l)\in \mathbf{R}^l$, đặt $t(\theta \theta ) =\prod_{i=1}^l$ (cos$\theta_i-f_{2i-1}f_{2i}$ sin $\theta_i$)$\in \widetilde{G}$. Hãy chỉ ra rằng tập hợp các $t(\theta \theta )$ với $\theta \theta \in \mathbf{R}^l$ là một xuyến cực đại $\widetilde{T}$ của $\widetilde{G}$, sao cho $\varphi ( \widetilde{T}) = T$. Nếu $X( \widetilde{T})$ được đồng nhất với một nhóm con của $\mathfrak{h}^*$, ta có $\varepsilon_j(t(\theta \theta )) =e^{2i\theta_j}$.

d) Chứng minh rằng các trọng số $\varpi_{l-1}$ và $\varpi_l$ thuộc $X( \widetilde{T})$; suy ra rằng Spin$(n,\mathbf{R})$ là đơn liên thông (xem §3, Bài tập 5).