Exercice 2, § 4

On prend $G = \mathrm{SO}(n, \mathbf{R})$, avec $n \geq 3$ ; on pose $n = 2l + 1$ si n est impair, et $n = 2l$ si n est pair. L’algèbre $g_c$ s’identifie à $o(n, \mathbf{C})$ ; on utilisera les notations de VIII, § 13, nos 2 et 4. On note $(f_i)_{1 \leq i \leq n}$ la base canonique de $\mathbf{R}^n$. On pose $e_j = \frac{1}{\sqrt{2}} (f_{2j-1} + if_{2j})$ et $e_{-j} = \frac{1}{\sqrt{2}} (f_{2j-1} - if_{2j})$ pour $1 \leq j \leq l$, et $e_0 = i \sqrt{2} f_{2l+1}$ lorsque n est impair ; on choisit sur $\mathbf{C}^n$ la base de Witt $e_1, ..., e_l, e_{-l}, ..., e_{-1}$ si n est pair (resp. $e_1, ..., e_l, e_0, e_{-l}, ..., e_{-1}$ si n est impair). a) Soit $H_i$ le sous-espace de $\mathbf{R}^n$ engendré par $f_{2i-1}$ et $f_{2i}$ ($1 \leq i \leq l$) ; montrer que le sous-groupe de G formé des éléments g tels que $g(H_i) \subset H_i$ et $\det(g|H_i) = 1$ pour $1 \leq i \leq l$ est un tore maximal T de G, et que $L(T)_{(C)} = \mathfrak{h}$. b) On identifie X(T) à un sous-groupe de $\mathfrak{h}^*$ par $\delta$. Montrer que les formes linéaires $\varepsilon_i$ appartiennent à X(T) ; si $t \in T$ et si la restriction de t à $H_j$ est une rotation d’angle $\theta_j$, on a $\varepsilon_j(t) = e^{i \theta_j}$.

Les poids $\varpi_1, ..., \varpi_{l-2}; 2\varpi_{l-1}, 2\varpi_l, \varpi_{l-1} \pm \varpi_l$ appartiennent à $X(T)$. Si $n$ est impair, $\varpi_{l-1}$ appartient à $X(T)$. c) Soient $\tilde{G} = \mathrm{Spin}(n, \mathbf{R})$ et $\varphi : \tilde{G} \to G$ le revêtement canonique. Pour $\theta = (\theta_1, ..., \theta_l) \in \mathbf{R}^l$, on pose $t(\theta) = \prod_{i=1}^l (\cos \theta_i - f_{2i-1} f_{2i} \sin \theta_i) \in \tilde{G}$. Montrer que l’ensemble des $t(\theta)$ pour $\theta \in \mathbf{R}^l$ est un tore maximal $\tilde{T}$ de $\tilde{G}$, tel que $\varphi(\tilde{T}) = T$. Lorsqu’on identifie $X(\tilde{T})$ à un sous-groupe de $\mathfrak{h}^*$, on a $\varepsilon_j(t(\theta)) = e^{2i\theta_j}$. d) Montrer que les poids $\varpi_{l-1}$ et $\varpi_l$ appartiennent à $X(\tilde{T})$; en déduire que $\mathrm{Spin}(n, \mathbf{R})$ est simplement connexe (cf. § 3, exerc. 5).