Bài tập 2, § 5

a) Cho E là một không gian tôpô đơn liên và $u: E\rightarrow G$ là một ánh xạ liên tục sao cho $u(E)\subset G_r$. Chứng minh rằng $u$ đồng luân (Tôpô đại cương, Chương XI) với ánh xạ hằng có giá trị $e$ (xét phép phủ $\varphi_r: (G/T)\times \mathfrak{t}_r\rightarrow G_r$; nâng $u$ lên $\widetilde{u}: E\rightarrow (G/T)\times \mathfrak{t}$, rồi sử dụng sự kiện rằng $\mathfrak{t}$ là co rút được).

$^*b)$ Chứng minh rằng nhóm $\pi_2(G)$ là không.

(Cho $u:\mathbf{S}_2\rightarrow G$ là một ánh xạ thuộc lớp $C^{\infty}$; bằng cách sử dụng Mệnh đề 1 và định lý xuyên giao, chứng minh rằng $u$ đồng luân với một ánh xạ có ảnh được chứa trong $G_r$, rồi áp dụng $a$).)_*