Exercice 2, § 5

a) Soient $E$ un espace topologique simplement connexe et $u : E \to G$ une application continue telle que $u(E) \subset G_r$. Montrer que $u$ est homotope (TG, XI) à l’application constante de valeur $e$ (considérer le revêtement $\varphi_r : (G/T) \times t_r \to G_r$; relever $u$ en $\tilde{u} : E \to (G/T) \times t$, puis utiliser le fait que $t$ est contractile). *b) Prouver que le groupe $\pi_2(G)$ est nul. (Soit $u : S_2 \to G$ une application de classe $C^\infty$; en utilisant la prop. 1 et le théorème de transversalité, montrer que $u$ est homotope à une application d’image contenue dans $G_r$, puis appliquer a).)