Bài tập 3, § 6

Cho $\mu$ là một độ đo Haar trên nhóm cộng $\mathfrak{g}$.

a) Tồn tại một độ đo Haar duy nhất $\mu_G$ trên G có tính chất sau: nếu $\omega_G$ và $\omega_{\mathfrak{g}}$ lần lượt là các dạng vi phân bất biến có bậc $n$ trên G và $\mathfrak{g}$, sao cho $\omega_G(e) =\omega_{\mathfrak{g}}(0)$ và $|\omega_{\mathfrak{g}}|=\mu$, thì $|\omega_G|=\mu_G$. Ánh xạ $\mu \rightarrow \mu_G$ là một song ánh từ tập hợp các độ đo Haar trên $\mathfrak{g}$ đến tập hợp tương tự đối với G. b) Chọn một tích vô hướng $(|)$ bất biến dưới $\mathfrak{g}$, và một độ đo Haar $\tau$ trên $\mathfrak{t}$ sao cho $\mu$ (resp. $\tau$ ) tương ứng với độ đo Lebesgue khi $\mathfrak{g}$ được đồng nhất với $\mathbf{R}^n$ (resp. $\mathfrak{t}$ với $\mathbf{R}^r$) bằng một cơ sở trực chuẩn. Chứng minh công thức

c) Đồng nhất X(T) với một tập con của không gian Hilbert $\mathfrak{t}^*$ bằng ánh xạ $(2\pi i)^{-1}\delta ($§4, no. 2), và đặt $P(x) =\prod_{\alpha\in R_+}\langle \alpha , x\rangle$ với $x\in \mathfrak{t}$. Với các ký hiệu

của Exerc. 1 và 2, chứng minh rằng

$l$

$\frac{\tau_T(T)}{\mu_G(G)}= (2\pi )^Nw(G)^{-1}(P|P) =\pi^N\prod(\alpha |\alpha )\prod m_i$!

$\alpha \in R_+i=1$ d) Với các ký hiệu của Exerc. 9 của §3, cho $\mathfrak{g}_{\mathbf{Z}}$ là đại số con Lie trên $\mathbf{Z}$ của $\mathfrak{g}$ sinh bởi $(2\pi )^{-1}\Gamma (T)$ và các phần tử $u_{\alpha}, v_{\alpha}$ với $\alpha \in R$. Chứng minh đẳng thức

$\mu_G(G) =\mu(\mathfrak{g}/\mathfrak{g}_{\mathbf{Z}})2\prod^r_i\pi m^{N+}_i$!$^r$.

e) Giả sử rằng G là liên thông đơn. Chứng minh rằng $l=r$ và rằng

$\mu_G(G) = 2^{l/2}\pi^{-N}f^{1/2}\prod_{\alpha\in R_+}(\alpha |\alpha )^{-1}\prod_{i=1}^l(\alpha_i|\alpha_i)^{-1/2}\prod_i(m_i$!)$^{-1}$,

trong đó $\{\alpha_1, . . . , \alpha_l\}$ là một cơ sở của R và $f$ là chỉ số liên thông của R.

f) Giả sử thêm rằng R là bất khả quy và tất cả các nghiệm của nó có cùng độ dài; lấy tích vô hướng trên $\mathfrak{g}$ là đối của dạng Killing. Chứng minh rằng $\mu_G(G) = (2\pi )^{N+r}(2h)^{n/2}f^{1/2}\prod_i(m_i$!)$^{-1}$.