Exercice 3, § 6

Soit $\mu$ une mesure de Haar sur le groupe additif $g$. a) Il existe une unique mesure de Haar $\mu_G$ sur $G$ possédant la propriété suivante : si $\omega_G$ et $\omega_g$ sont des formes différentielles invariantes de degré $n$, sur $G$ et $g$ respectivement, telles que $\omega_G(e) = \omega_g(0)$ et $|\omega_g| = \mu$, on a $|\omega_G| = \mu_G$. L’application $\mu \mapsto \mu_G$ est une bijection de l’ensemble des mesures de Haar sur $g$ sur l’ensemble analogue pour $G$. b) On choisit un produit scalaire $(\ )$ invariant sur $g$, et une mesure de Haar $\tau$ sur $t$, tels que $\mu$ (resp. $\tau$) corresponde à la mesure de Lebesgue lorsqu’on identifie $g$ à $\mathbf{R}^n$ (resp. $t$ à $\mathbf{R}'$) au moyen d’une base orthonormale. Démontrer la formule

c) On identifie $X(T)$ à une partie de l’espace hilbertien $t^*$ par l’application $(2\pi i)^{-1}\delta$ (§ 4, n° 2), et on pose $P(x) = \prod_{\alpha \in R_+} \langle \alpha, x \rangle$ pour $x \in t$. Avec les notations des exerc. 1 et 2, montrer qu’on a d) Avec les notations de l’exerc. 9 du § 3, soit $g_Z$ la sous-$\mathbf{Z}$-algèbre de Lie de $g$ engendrée par $(2\pi)^{-1}\Gamma(T)$ et par les éléments $u_\alpha, v_\alpha$ pour $\alpha \in R$. Démontrer l’égalité e) On suppose $G$ simplement connexe. Montrer qu’on a $l = r$ et où $\{ \alpha_1, ..., \alpha_l \}$ est une base de $R$ et où $f$ est l’indice de connexion de $R$. f) On suppose de plus que $R$ est irréductible et que toutes ses racines ont même longueur ; on prend comme produit scalaire sur $g$ l’opposé de la forme de Killing. Démontrer qu’on a $\mu_G(G) = (2\pi)^{N+r}(2h)^{n/2} f^{1/2} \prod_i (m_i!)^{-1}$.