习题 17, § 2

(*) 设$A$为环（不一定可交换），$\mathscr{F}$为$A$的左理想的拓扑集合（习题16）。 (a) $A$（左）$A$-模块 $M$ 被称为 9-可忽略，如果 $M$ 属于到 $\mathscr{G}$ 的每元素中的湮没子被称为 9-可忽略 如果 $M$ 是 $\mathscr{F}$-可忽略，那么每个子模以及$M$ 的每商模。如果$M$和$N$是两个$\mathscr{F}$可忽略的$A$模块，则$M \oplus N$是可忽略的9。对于 $A_s/m$ 9-可忽略不计，$m \in \mathscr{G}$ 是充分必要的 如果 $(0) \in \mathscr{G}$ 每个 $A$-模都是 9-可忽略；如果仅由单个左理想$A_s$组成，则每个$\mathscr{F}$-可忽略的$A$-模块都会减少到0。 (b) 对于每个$A$-模块$M$，都存在最大的 9 个可忽略的子模，其中$M$ 表示为$\mathscr{F}M$。对于每个$A$-模块同态$u : M \to N$，$u(\mathscr{F}M) \subset \mathscr{F}N$；设$\mathscr{F}u$为映射，从$PM$到$\mathscr{F}N$，其图重合与$u|_{\mathscr{F}M}$的图。如果

是 $A$ 个模块中的正合序列，序列 是准确的。证明$\mathscr{F}A_s$是$A$的双面理想。 (c) 令$m, n$为$\mathscr{F}$中的两个元素，使得$m \subset n$；对于每个左 $A$-模 $M$ 典范嵌入 $j : m \to n$ 定义一个可交换的群同态

(*) 习题 17 至 25（未经编辑）由 P. Gabriel 传达给我们。

如果$\mathscr{F}$按关系$\supseteq$排序，则交换性群的$u_{m,n}$定义直接系统，其直极限将用$M_{(\mathscr{F})}$表示。 映射 $u_{m,A_s}$ 形式直接系统，其直极限是从$M = \mathrm{Hom}_A(A_s, M)$到$M_{(\mathscr{F})}$的映射（称为规范）。类似地，如果$u : M \to N$是左$A$模同态，则$v_m = \mathrm{Hom}_A(1, u) : \mathrm{Hom}_A(m, M) \to \mathrm{Hom}_A(m, N)$形式直接系统，其直极限是可交换的群同态

如果 $0 \to M \xrightarrow{v} N \xrightarrow{w} P$ 是 $A$ 个模块中的正合序列，则序列

是准确的。