习题 18, § 2

(a) 设$A$为环和$\mathscr{F}$和$\mathscr{G}$$A$的左理想的两个拓扑集合(习题16)。让$\mathscr{G}$。表示 $A$ 的左理想 $I$ 的集合，其中存在左理想 $n \in \mathscr{G}$，使得 $n/I$ $\mathscr{G}$ 可忽略不计。证明$\mathscr{G}$。正在拓扑化；对于$A$-模块$M$是$\mathscr{F}$.$\mathscr{G}$可忽略不计，存在$M$的$\mathscr{F}$可忽略的子模$M'$是充分必要的，使得$M/M'$是$\mathscr{G}$-可以忽略不计。显示合成律 $(\mathscr{F}, \mathscr{G}) \mapsto \mathscr{G}$。 $A$的左理想拓扑集合在集合上是结合律。

如果$\mathscr{G}$，$\mathscr{F}$ 称为幂等。 $\mathscr{G}$。

(b) 证明 $\mathscr{G} \mathscr{G}$ 包含形式 $m.n$ 的所有理想，其中 $m \in \mathscr{F}$ 和 $n \in \mathscr{G}$。

(c) 令$K$为交换域和$B$环，其中系数为$K$的多项式在无限系统的不定数$(X_i)$ ($i \geq 0$)中。设$b$为元素$X_i X_j$($i \neq j$)生成的$B$的理想；令 $A$ 为环 $B/b$, $\xi_i$ 类 mod。 $X_i$的$b$和$m$由$\xi_i$生成的$A$的理想；取$\mathscr{F}$为$m$的理想包含幂的集合。证明 $\mathscr{F}$ 是 $\mathscr{F}$ 的任意两个理想的拓扑，并且包含乘积但不是幂等的。

(d) 假设$A$是可交换的，并且$\mathscr{F}$是$A$理想的拓扑集合，使得每个理想$m \in \mathscr{F}$包含都是*有限*生成的理想$n \in \mathscr{G}$。证明，如果 $\mathscr{F}$ 属于到 $\mathscr{F}$ 的两个理想中的乘积，则 $\mathscr{F}$ 是幂等的。