习题 22, § 2

设 A 为环（不一定可交换），S 为 A 的乘法子集。

(a) 设$\mathscr F$为A的左理想I的集合，使得对于所有$a\in A$，存在$s\in S$使得$sa\in I$；这特别意味着$I\cap S\ne\varnothing$。证明 $\mathscr F$ 是拓扑化且幂等的。

(b) 令 B 为环和 $\phi:A\longrightarrow B$ 环同态。如果有序对$(B,\phi)$满足以下条件，则称为分母为S的A的左分式*的*环：

(I) 如果$\phi(a)=0$，则存在$s\in S$使得$sa=0$。

(II) 若$s\in S$，则$\phi(s)$在B中可逆。

(III) B 的每个元素都是形式$(\phi(s))^{-1}\phi(a)$，其中$a\in A$。

证明以下性质是等价的：

$(a)$ 环 A 具有左分式* 的 *环，分母为 S。

$(\beta)$ 以下条件成立：

$(\beta_1)$ 对于所有$s\in S$、$a\in A$，存在$t\in S$ 和$b\in A$，使得$ta=bs$。

$(\beta_2)$ 如果$a\in A$ 和$s\in S$ 满足 $as=0$，则存在$t\in S$使得$ta=0$。

$A_{\mathscr F}$中S的元素$(\gamma)$典范像可逆。

此外，这些属性意味着以下内容：

$(\delta)$ 主要理想 $As$，其中 $s\in S$、属于至 $\mathscr F$ 以及每个理想 $m\in\mathscr F$ 包含这些主要理想之一。

$(\epsilon)$ The left annihilator of every $s\in S$ is contained in $\mathscr F A_{,}$.

$(\zeta)$ 对于 A-模中的每一个正合序列 $0\longrightarrow M\xrightarrow{h}N\xrightarrow{p}P\longrightarrow0$，序列 $0\longrightarrow M_{\mathscr F}\xrightarrow{h_{\mathscr F}}N_{\mathscr F}\xrightarrow{p_{\mathscr F}}P_{\mathscr F}\longrightarrow0$ 都是精确的。

（证明$(a)\Rightarrow(\beta)\Rightarrow(\gamma)\Rightarrow(a)$。要看到$(\gamma)$蕴含$(a)$，注，对于每个A-模M和每个$x\in\mathscr F M$，存在$s\in S$使得$sx=0$。要看到$(\beta)$蕴含$(\gamma)$，首先证明$(\beta)$ 蕴含 $(\delta)$、$(\epsilon)$ 和 $(\zeta)$。 要证明 $(\beta)$ 蕴含 $(\zeta)$，请使用 $(\delta)$ 建立，如果 $m\in\mathscr F$ 且

则存在 s \in S 使得 As \子集 m 和 v \in \mathrm{Hom}_A(As, N/\mathscr{F}N) 使得图表

是可交换的，i 是典范嵌入和 $p'$ 映射通过商从 $p$ 导出。最后考虑一下，对于所有$s \in S$，正合序列

其中 $\mu_s$ 是位似 $\lambda \mapsto \lambda s$；使用 (E)、(\zeta) 和代数、章 I, § 8 中的习题 4。）

(c) 从 (b) 推导出，如果 A 拥有左分式 (B, $\phi$) 的环，且分母为 S，则该环具有以下泛性质：对于每个环同态 $f : A \to C$，使得 $f(s)$ 为对于所有$s \in S$，在C中可逆，存在唯一同态$g : B \to C$使得$f = g \circ \phi$。特别是 B 与 $A_{\mathscr{F}}$ 是标准同构的。

(d) 分母为 S 的 A 的右分式* 的 *环的概念也有类似的定义。由(c)可知，如果A的左分式的环和右分式的环都存在，则这两个环是同构的。

(e) 令 E 为域 K 上的向量空间、E 的 $(e_i)_{i \in I}$ 基以及 E 的 T 张量代数。令 J 为 I 的非空子集，与 I 不同，S 为乘法由$e_i$生成的T的子集使得$i \in J$。证明 T 不承认左环或分母为 S 的右分式。

(f) 对于(e)的记号，假设I = N，并通过元素$e_0^2$和$e_0 e_i - e_{i+1} e_0$（对于所有$i > 0$）和$e_i e_j - e_j e_i$（对于$i > 0, j > 0$）生成的双边理想来考虑T的商环A。令S'为A、$\epsilon$或$i > 0$中$e_i$的典范像生成的乘法集合；证明 A 承认左分式的环，但不承认右分式的环，分母在 S' 中。

(g) 假设 A 承认左分式的环，分母在 S。在集合 S x A 中，令 R 为 $(s, x)$ 和 $(t, y)$ 之间的关系：“存在 $r \in S$、$u \in A$、$v \in A$，使得$r = us = vt$ 和 $ux = vy$”。证明 R 是集合 $B = (S \times A)/R$ 环结构上的等价关系和定义，使得 S 的有序对由……组成和映射 $\phi : A \to B$，其中映射 $x \in A$ 为$(1, x)$的类，是分母为S的A的左分式的环（使用以下事实：对于$s \in S$和$t \in S$，存在$u \in A$和$v \in A$使得$r = us = tv$ 属于至 S)。考虑这种情况 $S = A - \{0\}$ (cf. 代数, 章 I, § 9, 习题 8)。