习题 24, § 2

设$A$为环，无论是否可交换，以及$A$的左理想1的$\mathscr{F}$集合，使得$l \cap m \neq 0$对于$A$的\emph{every}左理想$m \neq 0$。

在阶和$l \in \mathscr{F}$中，对于$A$的每一个元素$a \neq 0$，存在$b \in A$使得$ba \neq 0$和$ba \in l$是充分必要的。 $\mathscr{F}$ 包含的每个理想 $l$ $A$ 的 \emph{left 底层} (\emph{代数}, 章 VIII, § 5, 习题 9) 并且，如果 $A$ 是阿廷的、$\mathscr{F}$ 由理想包含和$A$ 的左侧底层组成。

(a) 证明 $\mathscr{F}$ 是拓扑集合 (习题 16)。推出$a \in A$的集合$a$使得$la = 0$对于某些$l \in \mathscr{F}$（$l \in \mathscr{F}$的右湮灭子的并）是$A$的双面理想，其中包含不幂等的。如果$A$是左诺特的，证明$a$是幂零的（首先通过考虑$a^n$的左边湮没子证明每个元素$a \in a$都是幂零的；然后使用习题 26 (b) \emph{代数}，章VIII, § 6）。

令 $K$ 为不定式 $Y$ 和 $X_i$ 中系数为 $K$ 的多项式的交换域和 $B$ 环，($i \geq 1$)。令$b$为$X_i X_j$（$i \# j$）和$Y^{l-1} X_i$生成的$B$的理想，令$A$为商环$B/b$；表明在 $A$ 中，$Y$ 的包含类定义的理想$a$不是幂零的。

(b) 证明，对于$A$的每个左理想$m$，都存在一个$A$的左理想$n$，使得$m \cap n = 0$和$m + n \in \mathscr{O}$（将$n$作为左理想$l$中最大的一个理想，使得$m \cap l = 0$）。

(c) 如果(a)中定义的双边理想$a$减少到0，环$A$被称为(左)\emph{neat}。如果是这样，集合$\mathscr{F}$是幂等的（让$l, m, n$是$A$的左理想，使得$n \in \mathscr{F}$、$l \subset n$、$n/l$ F 可以忽略不计，并且$m \neq 0$ 如果 $x \neq 0$ 属于到 $m \cap n$，则存在 $r \in \mathscr{F}$ 使得 $r.x \subset l \cap m$）。