习题 26, § 2

(a) 证明每个没有零理想 $\neq 0$ 的 Zorn环 A (代数, 章 VIII, § 6, 习题 13) 都是整齐的；特别是，每个绝对平坦环和每个底层不减少到0的本原环都是左齐环。

(b) 令A为左本原环，其底层不减至0；表明，如果A表示为向量空间自同态$\operatorname{End}_D(V)$环稠密子环(代数，章VIII, § 5，习题10)，环$A_{\mathscr{F}}$ 相应的到 A (习题 25) 与 $\operatorname{End}_D(V)$ 同构的。

(c) 证明每个拟单环 A (代数, 章 VIII, § 5, 习题 5) 都是左右整齐的，并且相应的环 $A_{\mathscr{F}}$ 是拟单。推断出，对于每个不减少到 0 的环 B，存在同态 $\phi : B \to R$ 到环 R，这是拟单，绝对平坦，并且$R_s$ 是单射 R 模。

(d) 设 A 为左诺特环，没有幂零理想。证明 A 保持整齐，并且相应的环 $A_{\mathscr{F}}$ 是半单环（“Goldie's 定理”；使用习题 24 (a)，另一方面，使用代数、章 VIII, § 2，习题 7，注意到在绝对平坦环$A_{\mathscr{F}}$中存在不能存在任何成对正交的幂等族，除非A包含无限的直和左理想$\neq 0$）。证明，如果$s \in A$不是A中0的右除子，则它在$A_{\mathscr{F}}$中可逆，反之亦然；其中元素中的集合 S 是 A 的乘法子集。证明 $\mathscr{F}$ 是满足 S 的 A 左理想中的集合（看 A 的理想满足 S 属于到 $\mathscr{F}$、注，即S 的元素在 A 中不剩下 0 的除子；可见 S 的每个 $f \in \mathscr{F}$ 包含元素，将 $A_{\mathscr{F}}$ 的每个简单分量表示为 n 维向量空间 E 的自同态环且定义乘以归纳n元素$u_1, \ldots, u_n$使得$u_i u_j = 0$对于$j < i$和$u_i^2 \neq 0$，$u_i$为秩1；最后证明$s = u_1 + \ldots + u_n$的核为零）。推断 $(A_{\mathscr{F}}, j_A)$ 是 A 的左分式的环，分母为 S (习题 22)。