习题 3, § 3

令 $A$ 为局部环（不一定可交换，cf. 习题 1），$m$ 为雅各布森根式。

(a) 设 $L$ 为 $L$ 的自由左 $A$ 模和 $x \neq 0$ 元素。令$(e_i)_{i \in I}$为$L$的基，其中$x$的分量$\neq 0$的数是最小可能的；如果$x = \sum_{i \in I} \xi_i e_i$，则令$J$为$i \in I$的集合，使得$\xi_i \neq 0$。证明 $\xi_i$ ($i \in J$) 属于中没有一个是由其他$A$ 生成的。

(b) 根据(a)的假设和记号，令P、Q为L的两个互补的子模，使得$x \in P$；对于所有$t \in I$，设$e_t = y_t + z_t$，其中$y_t \in P$，$z_t \in Q$。证明$t \in J$的$y_t$和$t \notin J$的$e_t$族是L的基。 （使用（a）证明，如果$z_k = \sum_{t \in I} \zeta_{kt} e_t$，分量$\zeta_{kt}$使得$k \in J$和$t \in J$必然属于到m，并使用推论2到命题4。）推导出存在一个自由的P的子模，其中包含x是 P 的直因子。

(c) 证明每个射影 A-模 P 都是自由的（使用卡普兰斯基的定理 (代数, 章 11, § 2, 习题 4), 约化到 P 由可数族元素生成的情况并应用(b) 本例）。

(d) 给出局部环 A 中的例和一个固定的 A-模 M，它不是免费的并且满足 $mM = M$（取 $A = \mathbf{Z}_{(p)}$）。 （在章III, § 3，我们将忠实地提供A-模中的例，而诺特局部环A则不免费。）

(e) 设 A 为局部环，M 为有限生成平面 A-模。证明 M 是自由A-模（使用章 I, § 2 的习题 23 (e)）。