习题 4, § 3

设 A 为局部环 （不一定可交换）且 m 为雅各布森根式。令 M 和 N 为两个自由A-模（有限生成或非有限生成）和 $u : M \to N$ 同态，使得 $1 \otimes u : M/mM \to N/mN$ 是双射的。证明 u 是双射的。 （首先证明 u 是满射，然后证明 u 是单射，将其简化为 M 和 N 有限生成的情况，并分别使用推论 1 到命题 4 和命题 6。）